专题一　函数图象与性质的综合应用
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是                     (　　)
A．y＝x3＋x          B．y＝－log2x
C．y＝3x           D．y＝－
2．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则  (　　)
A．a<且a≠－1         B．－1<a<0
C．a<－1或a>0         D．－1<a<2
3．由方程x|x|＋y|y|＝1确定的函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是     (　　)
A．增函数           B．减函数
C．先增后减          D．先减后增
4．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上(　　)
A．先减后增          B．先增后减
C．单调递减          D．单调递增
5．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(|x|)|的图象可能是(　　)

二、填空题(每小题6分，共24分)
6． f(x)＝，则f＋f的值为________．
7．已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)＋2>0的解集是________．
8．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为
___________．
9．已知x2>，则实数x的取值范围是________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知a>0，且a≠1，f(logax)＝·.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)求f(x2－3x＋2)<0的解集．
11.(14分)设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范
围．
12．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
答案
1．A  2．C  3．B  4．D  5.A
6．3  7．(－2，＋∞)   8．(2，＋∞)  9．{x|x<0或x>1}
10．解　(1)令t＝logax (t∈R)，则x＝at，
且f(t)＝.
∴f(x)＝(ax－a－x) (x∈R)．
(2)当a>1时，ax－a－x为增函数，
又>0，∴f(x)为增函数；
当0<a<1时，ax－a－x为减函数，
又<0，∴f(x)为增函数．
∴函数f(x)在R上为增函数．
(3)∵f(0)＝(a0－a0)＝0，
∴f(x2－3x＋2)<0＝f(0)．
由(2)知：x2－3x＋2<0，∴1<x<2.
∴不等式的解集为{x|1<x<2}．
11．解　原不等式为(x2－1)m－(2x－1)<0，
设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得，即，
解得x∈.
12．解　(1)方法一　∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根．
方法二　作出g(x)＝x＋的图象如图：
可知若使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.
方法三　解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故
等价于，故m≥2e.
 (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋ (x>0)的图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．